Resuelve los siguientes ejercicios:
Los sistemas de ecuaciones son un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más variables, donde el número de variables depende del número de ecuaciones, por ejemplo:
En este ejercicio conoceremos cinco métodos para solucionar sistemas de ecuaciones 2 x 2, así:
Sea el sistema de ecuaciones:
2x + y = 11
x + y = 8
Describiremos los pasos que se debe realizar para solucionar el sistema y tu realiza el proceso que se indica, así:
Se hallan los valores que deben ir en la gráfica (hazlo por el método de los puntos de corte). Realiza tus cálculos en el material de estudiante, y aquí solo presenta los resultados: y .
Se trazan las rectas en el plano cartesiano con los puntos hallados en el anterior paso (este paso realízalo en el material del estudiante).
De acuerdo a lo que hiciste en la gráfica y los puntos calculados, responde:
a) Escribe las coordenadas del punto de corte de las dos rectas:
b) Reemplaza los valores de corte en el sistema de ecuaciones y verifica si se cumplen las igualdades 2x + y = 11 y x + y = 8
c) Según las coordenadas del punto de corte y la verificación anterior ¿cuál es el valor de x y cuál el valor de y? X = Y =
Podemos concluir que:
Cuando las dos rectas que representan un sistema de ecuaciones se cortan en un solo punto, la coordenadas de dicho punto son la única solución al sistema y este recibe el nombre de Sistema compatible determinado.
d) Ahora resuelve, en el material del estudiante, el siguiente sistema de ecuaciones:
- 4x + 2y = 4
6x + 3y = 9
Utiliza las tablas de valores y como mínimo toma 2 puntos para graficar y una vez lo resuelvas, indica en el material del estudiante:
¿Cuáles son las coordenadas del punto de corte de las dos rectas?
Si en el anterior sistema, las rectas se cortaban en un punto, lo que indicaba que tenían una única solución ¿qué puedes concluir con respecto a la solución de este nuevo sistema?
Podemos concluir que:
Cuando las dos rectas que representan un sistema de ecuaciones son paralelas, el sistema no tiene solución y recibe el nombre de Sistema incompatible.
e) Resuelve, en el material del estudiante, este otro sistema de ecuaciones:
- 4x + 2y = 12
8x + 4y = 12
Utiliza las tablas de valores y como mínimo toma 2 puntos para graficar y una vez lo resuelvas, indica en el material del estudiante:
¿En cuántos puntos se cortan estas dos rectas?
Teniendo en cuenta los dos sistemas anteriores y sus soluciones, para este nuevo caso ¿cuántas soluciones hay?
Podemos concluir que:
Cuando las dos rectas que representan un sistema de ecuaciones se sobreponen, el sistema tiene infinitas soluciones y recibe el nombre de Sistema compatible indeterminado.
De acuerdo a lo anterior podemos definir que los pasos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2 x 2, por el método ráfico, son:
Se calculan los valores que deben ir en la gráfica. Mínimo 2 puntos.
Se representan gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones, donde el punto de corte entre las dos rectas determinan el valor de x y el valor de y, es decir, la solución al sistema.
g) Soluciona por el método gráfico el siguiente problema:
Si la suma de dos números es 10 y la diferencia entre el doble del mayor y el menor es 8, ¿cuáles son los números? (realiza tus cálculos en el material del estudiante, y aquí solo presenta las respuestas).
Número mayor x = Número menor y =
a) Observa el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + 3y = -1 sea esta ecución 1
-5x + 2y = -26 sea esta la ecuación 2
Posteriormente da solución al sistema: X = y Y =
De acuerdo a lo anterior podemos definir que los pasos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2 x 2, por el método de sustitución son:
- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones dadas.
- Se remplaza la expresión obtenida en la otra ecuación y se realizan las operaciones pertinentes para solucionar la ecuación.
- Se remplaza el valor de la incógnita hallada en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para hallar la otra incógnita.
b) Soluciona el siguiente problema por el método de sustitución:
Si la entrada a cine de 13 adultos y 4 niños cuestan $148600, y la de 6 de adultos y 12 niños cuestan $148.800, halla el precio de la entrada de un niño y la de un de adulto.
(Realiza todo el procedimiento en el material del estudiante y aquí presenta solo los resultados).
Etrada adulto x = Entrada niño y =
a) Observa el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + 7y = -30 (ecuación 1), y
4x - 3y = 8 (ecuación 2)
Posteriormente da solución al sistema: x = y =
De acuerdo a lo anterior podemos definir que los pasos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2 x 2, por el método de igualación, son:
- Se despeja una de las dos variables en las dos ecuaciones.
- Se igualan las dos expresiones obtenidas en el paso anterior.
- Se realizan las operaciones pertinentes hasta resolver la ecuación y así obtener una incógnita.
- Se remplaza el valor de la incógnita hallada, en una de las ecuaciones despejadas.
b) Soluciona el siguiente problema por el método de igualación.
El perímetro de un terreno rectangular es de 30 m. El largo del terreno excede al ancho en 3 m. Calcula las dimensiones del terreno.
(Realiza todo el procedimiento en el material del estudiante, y aquí da las respuestas).
Medida del largo del terreno x =
Medida del largo del terreno y =
a) Observa el siguiente sistema de ecuaciones
k + M = 42 (ecuación 1), y
4K + 2M = 144 (ecuación 2)
Posteriormente da solución al sistema: x = y =
De acuerdo a lo anterior podemos definir que los pasos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2 x 2, por el método de eliminación, son:
- Se multiplican los términos de cada ecuación por los coeficientes de una de las dos variables, así: la primera ecuación se multiplica por el coeficiente de X de la segunda ecuación, y la segunda ecuación se multiplica por el coeficiente de X de la primera ecuación (a uno de los dos coeficiente se le debe de cambiar de signo para que al multiplicar por la ecuación, los valores de los coeficientes de X se diferencien solo en el signo).
- Se suman las ecuaciones cancelándose una de las incógnitas.
- Se realizan las operaciones y se resuelve la ecuación, hallando así una incógnita.
- Se remplaza el valor de la variable hallada en una de las ecuaciones iniciales y se obtiene la segunda incógnita.
b) Soluciona el siguiente problema por el método de eliminación:
Si en una excursión viajan vehículos de dos modelos de 5 y 4 asientos, y en total van 25 vehículos, en los que viajan 112 personas ¿cuántos vehículos de cada modelo hay?
Cantidad de vehículos de 5 asientos x =
cantidad de vehículos de 4 asientos y =
Antes de resolver un sistema de ecuaciones por este método, conozcamos que es un determinante, así:
-
Un determinante es un número asociado a un arreglo de números reales con igual cantidad de filas y columnas, ejemplo:
- Los elementos de un determinante son filas, columnas, diagonal principal y secundaria.
Para comprender cómo se resuelven los determinantes, observa el siguiente video:
Usando los determinantes se pueden solucionar sistemas de ecuaciones 2 x 2, aplicando el método o regla de Cramer. Para comprender cómo se resuelven los determinantes por dicho método, observa el siguiente video.
De acuerdo a lo anterior podemos definir que los pasos para solucionar un sistema de ecuaciones de 2 x 2, por el método de determinantes, son:
- Se forma el determinante del sistema de ecuaciones. escribiendo los coeficientes de las incógnitas y este se escribe en el denominador.
- Para hallar el valor de x se forma el determinante en el numerador de la siguiente manera: se escribe en la primera columna los términos independientes y en la segunda columna los coeficientes de y.
- Tanto en el determinante del numerador como en el del denominador se realiza el producto de los números de la diagonal principal menos el producto de los números de la diagonal secundaria.
- El cociente entre estos dos es el valor de x.
- Para hallar el valor de y se forma el determinante en el numerador de la siguiente manera: se escribe en la primera columna los coeficientes de x, y en la segunda columna los términos independientes.
- Tanto en el determinante del numerador como en el del denominador se realiza el producto de los números de la diagonal principal menos el producto de los números de la diagonal secundaria.
- El cociente entre estos dos es el valor de y.
Ahora soluciona el siguiente ejercicio por el método de determinantes:
Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que su perímetro mide 90 cm y el ancho es el doble de la altura. (realiza los cálculos en el Material del estudiante y aquí presenta solo los resultados).
Medida de la altura del terreno x =
Medida del ancho del terreno y =
