En las ecuaciones lineales podemos encontrar los siguientes elementos y características:
- Los miembros de una ecuación son expresiones que se encuentran separadas por el signo igual.
- Las variables pueden ser una o más, y se representan con letras, las cuales equivalen a los valores desconocidos.
- Todas las incógnitas están elevadas a la potencia uno, y no se multiplican entre sí.
Los sistemas de ecuaciones son un conjunto de 2 o más ecuaciones con dos o más variables, donde el número de variables depende del número de ecuaciones.
Para solucionar sistemas de ecuaciones vimos cinco métodos, así:
La aplicación del método requiere:
- Se calcula los valores que deben ir en la gráfica. Mínimo 2 puntos.
- Se representan gráficamente las rectas que corresponden a las ecuaciones, donde el punto de corte entre las dos rectas determinan el valor de x y el valor de y, es decir, la solución al sistema.
Ejemplo: sea el sistema:
2x - y = 1
-x + 2y = 8
Para la primera ecuación:
2x - y, si x = 0, y = 1 y si y = 0, x = -1/2
Para la segunda ecuación:
–x + 2y =8. si x=0 ⇒ y= 4 y si y= 0 ⇒ x= -8
Graficando tendríamos:
A partir de la gráfica es posible visualizar que un sistema de ecuaciones puede ser:
- Un sistema compatible determinado, el cual tiene una sola solución.
- Un sistema incompatible, el cual no tiene solución.
- Un sistema compatible indeterminado, el cual tiene infinitas soluciones.
La aplicación del método requiere:
- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones dadas.
- Se remplaza la expresión obtenida en la otra ecuación y se realizan las operaciones pertinentes para solucionar la ecuación, y así hallar el valor de una incógnita.
- Se remplaza el valor de la incógnita hallada en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema para hallar la otra incógnita.
Ejemplo: sea el sistema:
2x - y = 1
-x + 2y = 8
- y = -2x – 1 ⇒ y = 2x + 1 ⇒ -x + 2(2x + 1) ⇒ -x + 4x +2 = 8
⇒ 3x = 6 ⇒ x= 6/3, ⇒ x = 2, ahora reemplazando x en una de las ecuaciones ⇒ 2(2) – y = 1 ⇒ 4 – y = 1 ⇒ -y = -1-4 ⇒ y = 5
La aplicación del método requiere:
- Se despeja una de las dos variables en las dos ecuaciones.
- Se igualan las dos expresiones obtenidas en el paso anterior.
- Se realizan las operaciones pertinentes hasta resolver la ecuación y así hallar el valor de una incógnita.
- Se remplaza el valor de la incógnita hallada, en una de las ecuaciones despejadas.
Ejemplo: sea el sistema
2x - y = -1
-x + 2y = 8
-y = -2x - 1 ⇒ y = 2x + 1
y =
Igualando: 2x + 1 =
La aplicación del método requiere:
- Se multiplican los términos de cada ecuación por los coeficientes de una de las dos variables, así: la primera ecuación se multiplica por el coeficiente de X de la segunda ecuación, y la segunda ecuación se multiplica por el coeficiente de X de la primera ecuación (a uno de los dos coeficiente se le debe de cambiar de signo para que al multiplicar por la ecuación, los valores de los coeficientes de X se diferencien solo en el signo).
- Se suman las ecuaciones cancelándose una de las incógnitas.
- Se realizan las operaciones y se resuelve la ecuación, hallando así una incógnita.
- Se remplaza el valor de la variable hallada en una de las ecuaciones iniciales, y se obtiene la segunda incógnita.
Ejemplo: sea el sistema de ecuaciones:
2x - y = 1
-x + 2y = 8
2x-y= -1, se multiplica por 1 ⇒ 2x – y = -1
-x+2y=8 se multiplica por 2 ⇒-2x -4y = 16, ahora se sumas las ecuaciones:
2x-y= -1
-2x+4y=16
0+3y=15 ⇒ 3y = 15 ⇒ y = 15/3 ⇒ y = 5, reemplazando en una de las
Ecuaciones iniciales: 2x-5=-1 ⇒ 2x = -1+5 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 4/2 ⇒ x= 2
La aplicación del método requiere:
- Se forma el determinante del sistema de ecuaciones, escribiendo los coeficientes de las incógnitas y este se escribe en el enominador.
- Para hallar el valor de x se forma el determinante en el numerador de la siguiente manera: se escribe en la primera columna los términos independientes y en la segunda columna los coeficientes de y.
- Tanto en el determinante del numerador como en el del denominador se realiza el producto de los números de la diagonal principal, menos el producto de los números de la diagonal secundaria.
- El cociente entre estos dos es el valor de x.
La aplicación del método requiere:
- Para hallar el valor de y se forma el determinante en el numerador de la siguiente manera: se escribe en la primera columna los coeficientes de x, y en la segunda columna los términos independientes.
- Tanto en el determinante del numerador como en el del denominador se realiza el producto de los números de la diagonal principal menos el producto de los números de la diagonal secundaria.
- El cociente entre estos dos es el valor de y.
Ejemplo: sea el sistema:
2x - y = -1
x + 2y = 8
